Geometri Bola : Volume dan Luas Permukaan

Baiklah, pada postingan kali ini, saya akan mengungkapkan rasa penasaran saya semenjak kecil beserta dengan jawabannya, berhubung saya sudah mencari tahu sekarang :D
so masalahnya sendiri adalah, formula luas permukaan dan volume bole itu dari mana ya datangnya??
toh dari SD sno juga udah diajarin sama guru matematika, tapi saya tetep penasaran dari mana datangnya dua binatang ajaib itu.

sekarang saya coba posting jawaban dari masalah saya itu, setelah saya mencarinya di beberapa buku dan artikel, akhirnya saya betul2 paham. nah bagi kawan2 yang belum paham, langsung aja simak sampe habis ya, dijamin gak rugi deh kalian main kesini.

langsung saja, ada tiga metode yang saya ketahui, dua untuk mencari formula volume bola, dan satu untuk luas permukaannya. sekarang langsung saja kita masuk ke topik.

Mencari Luas Permukaan Bola

metode yang saya gunakan disini adalah metode archimedes, yaitu bola didalam tabung, ini merupakan cara yang bisa dibilang amazing, karna sudah ditemukan oleh archimedes semenjak Sebelum Masehi, hebat ya si Archie :D

nah, perhatikan gambar berikut

Jika Bola didalam Tabung dalam tempat yang penuh seperti gambar diatas

maka Ttabung = Diameter Bola

mari kita asumsikan bahawa luas selimut tabung sama dengan luas permukaan bola yang berada di dalamnya, kalau anda masih ragu, sekarang akan kita buktikan

luas selimut = 2πrt

bila kita ganti t dengan d (diameter bola) maka akan kita dapatkan

luas selimut = 2πrd

lalu d kita ganti dengan 2r (nilai diameter bola = 2 kali jari2 nya). maka

luas selimut = 2πr . 2r

= 4π(r^2)

( ^ : pangkat )

sama bukan dengan rumus yang diberikan oleh ibu guru, hhehehe :D

Mencari Volume Bola dengan Metode Archimedes

lagi2 Archie yang memikirkan metode ini, benar2 amazing ah dia.

sama seperti yang tadi, disini kita gunakan metode bola dalam tabung

volume bola = volume tabung dikurang 1/3 dari volumenya sendiri (bagian hampa yang tidak termasuk ke wilayah volume bola)

kenapa kita gunakan 1/3? disini anda bisa memainkan logika anda dalam melihat gambar diatas, jika kita perhatikan  baik2 bila wilayah hampa itu digabungkan, maka akan membentuk 1/3 dari seluruh wilayah tabung (maaf saya tidak mendapatkan gambarnya -__-)

bila Ttabung = Diameter Bola maka

volume tabung = π(r^2)t = π(r^2)2r = 2π(r^3)

volume bola = volume tabung – ruang diluar volume bola (1/3 volume tabung)

volume bola = 2π(r^3) – 2π(r^3)1/3

maka volume bola = 4/3π(r^3)

( ^ : pangkat )

sama juga bukan dengan rumus yang diberikan ibu guru?

Mencari Volume Bola dengan Integral

cara ketiga adalah menggunakan kaedah volume benda putar, cara ini yang paling praktis, tanpa banyak berpikir, cuma hitungannya saja yang sedikit rumit.

Perhatikan persamaan lingkaran bagian atas yang diberikan di bawah ini

Suatu persamaan lingkaran bisa kita tuliskan menjadi dua fungsi. Tentunya masih ingat mengenai persamaan lingkaran. Persamaan umum lingkaran dengan pusat di (0,0) adalah

x^2+y^2=r^2, \qquad dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Persamaan itu bisa kita tuliskan dan bisa kita bagi menjadi 2. Yaitu lingkaran bagian atas dan lingkaran bagian bawah. Untuk persamaan lingkaran bagian atas, perhatikan persamaan berikut ini

y= \sqrt{r^2-x^2}

Untuk persamaan lingkaran yang bagian bawah yaitu

y=- \sqrt{r^2-x^2}

Untuk gambar di atas, adalah persamaan lingkaran bagian atas. Persamaannya yaitu y= \sqrt{r^2-x^2}

Untuk mencari volume bola, kita akan memutar setengah lingkaran tersebut. Coba bayangkan, jika setengah bola tersebut diputar 360^{ \circ} dengan sumbu porosnya yaitu sumbu x. Benda apa yang akan terbentuk? Benda yang akan terbentuk adalah sebuah bola dengan jari-jari sama dengan jari-jari lingkaran.

Lalu bagaimana mencari volume benda putarnya? Masih ingat kan mengenai mencari volume benda putar untuk fungsi f(x) dan diputar terhadap sumbu x. Bagi yang belum pernah belajar hal ini. Bisa dipelajari pelan-pelan di sini.

Volume benda putar untuk f(x) adalah

\pi \int \limits_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx

Untuk mencari volume bola. Setengah lingkaran tersebut kita pandang sebagai f(x) dan untuk nilai a dan b, a=-r, \quad b=r

Perhitungannya sebagai berikut:

V= \pi \int \limits_{-r}^{r} r^2-x^2 \, dx

V= \pi [r^2x- \frac{1}{3}x^3]_{-r}^{r}

V= \pi [(r^3- \frac{1}{3}r^3)-(-r^3+ \frac{1}{3}r^3)]

V= \pi \frac{4}{3}r^3

Bentuk terakhir adalah rumus untuk mencari volume bola yang sudah kita kenal sejak SMP. Bahkan SD juga ada yang sudah mendapatkannya.

Jadi, dengan menggunakan integral. (volume benda putar), kita bisa dengan mudah menemukan rumus-rumus untuk menghitung volume bola. Selain itu volume kerucut, volume tabung atau volume benda-benda ruang lengkung yang lain juga bisa kita hitung dengan metode ini.

………………………………………………………………………………………………………….

sumber metode volume benda putar : asimtot.wordpress.com

sumber metode bola dalam tabung : buku “Archimedes dan 10 Karya Terbesarnya”

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d blogger menyukai ini: